Eratóstenes foi o primeiro matemático da Antigüidade que encontrou a medida da circunferência da Terra com valor mais próximo do atual.

Ele foi reconhecido como um grande sábio por seus contemporâneos. Deu contribuições em vários domínios do conhecimento, distinguindo-se como astrônomo, historiador, geógrafo, filósofo e matemático. Em Matemática, é lembrado por criar um dispositivo, chamado hoje de crivo de Eratóstenes, usado para se encontrar todos os números naturais primos menores que um certo número.

No entanto, o maior destaque dado a Eratóstenes é devido à sua obra Geografia, primeiro livro em que se tenta dar a essa ciência uma base matemática.

Crivo de Eratóstenes

• Que tipo de número são aqueles que ficaram circulados?
• Descubra os números que devem ser circulados até 100, observando o que foi feito no quadro de 1 a 50.

Os números que ficaram circulados no quadro são os primeiros de uma importante seqüência de números naturais - a seqüência dos números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

Um número natural p é um número primo se p não é 0 nem 1 e se os únicos divisores de p são 1 e o próprio p.

Um número natural a, com a não-nulo e diferente de 1, é chamado de composto se a não é primo.

Todo número composto pode ser escrito como um produto de números primos (fatores primos).

Vamos verificar, por exemplo, se o número 30 é primo ou composto.
30 é divisível por 2. Logo, seus divisores não são apenas 1 e 30. Portanto, 30 é composto.
Veja como podemos decompor 30 em fatores primos:
30 = 2 × 3 × 5

Observe que 0 e 1 não são primos nem compostos.

Note também que todos os múltiplos de um número primo p, exceto ele mesmo, não são primos, pois são divisíveis por pelo menos três números: o 1, ele mesmo e o primo p.

O procedimento mostrado no quadro, chamado de crivo de Eratóstenes, em homenagem a seu criador, é um método sistemático para encontrar todos os números primos de 1 até um certo número natural n (todos os números naturais primos menores que n ou igual a ele).

Esse método consiste em dispor os números naturais de 1 a n, em ordem crescente, em um quadro e ir eliminando, por etapas, os números que não são primos do seguinte modo:

• Inicialmente, riscamos o 1, que não é primo.
• A seguir, riscamos todos os múltiplos de 2, exceto o 2.
• Depois, riscamos todos os múltiplos de 3, exceto o 3; os de 5, exceto 5; e assim por diante, com os demais primos.

Dessa forma ficam sem riscar apenas os números primos.

Ao observar o crivo de Eratóstenes para obtenção dos números naturais primos menores que 50, notamos que alguns números são riscados mais de uma vez, porque eles são múltiplos de mais de um número primo. Já foi verificado, por exemplo, que 30 é múltiplo de 2, 3 e 5.

Por isso, é importante saber, nesse procedimento, em que primo p podemos parar, por serem desnecessárias as etapas seguintes.

Se quisermos encontrar todos os números naturais primos menores que n ou igual a ele, podemos parar no primo p para o qual se tem

Observando novamente o quadro apresentado, notamos que podemos parar no primo 7, pois temos . Ou seja, para determinar todos os números naturais primos menores que 50, basta riscar os múltiplos de 2, 3, 5 e 7.

Apesar de o crivo de Eratóstenes ser utilizado somente para números naturais, quando estendemos a definição de número primo para o conjunto dos números inteiros, ele também pode nos ajudar.

Um número inteiro p é chamado de primo se | p | é um número natural primo.

Assim, dizemos que um número inteiro p é primo se, e somente se, ,
e os únicos divisores de p são ±1 e ±p.

Podemos afirmar, por exemplo, que o número inteiro 2 é primo, porque seus únicos divisores são ±1 e ±2.

O número inteiro 25 é composto, porque seus divisores não são apenas ±1 e ±25, já que 25 também é divisível por 5 e 5.

Como a definição de um inteiro primo está ligada à de um natural primo, podemos aplicar o crivo de Eratóstenes para um intervalo de números inteiros da seguinte forma: encontramos os números naturais que devem ser riscados e, a seguir, cancelamos também os opostos dos números naturais que foram cortados.

Por exemplo, se precisarmos determinar todos os números inteiros primos que estão entre 20 e 20, aplicamos o crivo de Eratóstenes para procurar os números primos menores que 20.
Encontraremos, então:

19, 17, 13, 11, 7, 5, 3, 2, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19

Depois de Eratóstenes, por quase vinte séculos, poucos resultados importantes envolvendo números primos foram encontrados.

Em 1644, o frade francês Marin Mersenne (1588-1648) afirmou, no prefácio de sua obra
Cogitata phisico-mathematica, que os números da forma 2^p 1 são primos para todo p igual a 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257, e que para todos os outros primos p < 257, os números da forma 2^p 1 são compostos.

Não existem informações indicando que Mersenne tinha alguma base teórica para fazer tal afirmação, porém hoje se sabe que esta apresenta apenas 5 erros, o que é notável, considerando as limitações computacionais em sua época.

Os números M_n = 2ⁿ 1, para n = 1, 2, 3, 4, ..., são chamados de números de Mersenne.

Na verdade, temos que:

• M₆₁ é primo (Pervusin, 1883)
• M₆₇ = 193.707.721 × 761.838.257.287 é composto (F. N. Cole, 1903)
• M₈₉ é primo (Powers, 1911)
• M₁₀₇ é primo (Fauquemberguer e Powers, independentemente, 1914-1917)
• e M₂₅₇ é composto (Kraifchik, 1922)

Em 1961, o matemático americano Alexander Hurwitz descobriu o primeiro número natural primo com mais de 1.000 dígitos em sua representação decimal:
o número de Mersenne M_4.253 = 2^4.253 1.

Em 15/5/2004, foi descoberto pelo norte-americano Josh Findley um número primo de Mersenne com mais de 7 milhões de dígitos, o M_24.036.853.

Em 18/2/2005, Martin Nowak, um médico alemão, encontrou o primo de Mersenne com quase 8 milhões de dígitos, o M_25.964.951.

A caça de números primos de Mersenne continua. Um grupo de internautas, sob a sigla de GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search), comanda, com seus computadores, essa aventura e já contribuiu com a descoberta de alguns desses números.


Medindo a circunferência da Terra

Se precisarmos medir a circunferência de uma bolinha de isopor, podemos colocar uma linha ou fita em torno dela e, depois, obter o comprimento com uma régua. Mas, como fazer para medir a circunferência da Terra?

O método para medir a circunferência da Terra que será descrito foi realizado por Eratóstenes, no século III a.C. Um dia, quando lia um papiro da grande biblioteca de Alexandria, da qual era diretor, uma informação chamou a atenção dele.

Na cidade de Siene, localizada no Egito, no dia mais longo do ano (chamado solstício de verão), ao meio-dia, uma estaca em posição vertical não projetava sombra e o reflexo do Sol podia ser visto na água, no fundo de um poço. Eratóstenes, então, fez o seguinte experimento: verificou se em Alexandria, no solstício de verão, próximo ao meio-dia, estacas verticais projetavam sombra.

O Sol está tão distante que seus raios são paralelos quando chegam à Terra.

Pelo comprimento da sombra em Alexandria, o ângulo foi medido, encontrando-se aproximadamente 7°12'.

Observando que as retas r e s eram paralelas interceptadas pela transversal t, Eratóstenes concluiu que os ângulos e eram congruentes (ângulos alternos internos).

O ângulo tem o vértice no centro da Terra e determina na circunferência da Terra o arco compreendido entre Siene e Alexandria (o arco SA). Logo, esse arco também mede 7°12'.

Como , o referido arco é igual a da circunferência da Terra.

Eratóstenes sabia que a distância entre Alexandria e Siene era de aproximadamente
800 quilômetros, porque tinha contratado um homem para medi-la em passos. Então, fazendo
50 × 800 encontrou 40.000 quilômetros, que deveria ser o comprimento da circunferência da Terra.

Para refletir

Referências bibliográficas
Boyer, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1996.

Domingues, H. H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo, Atual, 1998.

Eves, H. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas, Editora da Unicamp, 1994.

Gundlach, B. H. História dos números e numerais. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo, Atual, 1992.

Ronan, C. A. História ilustrada da ciência - das origens à Grécia, v. I. Trad. Jorge Enéas Fortes. Rio de Janeiro, Jorge Zahar Editor, 1994.

Sagan, C. Cosmos. Trad. Ângela do N. Machado. Rio de Janeiro, Livraria Francisco Alves Editora, 1982.